Potencias y Raíces (2º y 3º ESO)

Para 2º ESO os propongo visitar las siguientes páginas:

Potencias y Raíces en e.d.a.d

Notación Científica

Y realizar las siguientes actividades:

potencias y raices 2 ESO

soluciones potencias y raíces 2 ESO (En este enlace hay más ejercicios que no están en la hoja anterior, simplemente buscar los números correspondientes)

EDITADO:

Os dejo también las soluciones a los ejercicios del libro, y un resumen del tema:

soluciones del libro

Resumen del tema vía Impress en slideshare (descargable):


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Para 3º ESO

Echar un vistazo a la siguiente página:

http://conteni2.educarex.es/mats/11821/contenido/

y este enlace os puede servir como refuerzo:

Potencias y Raíces en e.d.a.d (nivel de 2º ESO)

EDITADO:

Os dejo por aquí las soluciones de los ejercicios y problemas del libro:

soluciones libro

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Y para terminar una pequeña broma/chiste/chorrada sobre cómo extraer factores de una raíz:

Notación Científica (3º ESO)

Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede reducir empleando la notación científica. Veamos en la práctica algunos ejemplos:

a) 529 745 386 = 5,29 x 108
b) 450 4,5 x 102
c) 590 587 348 584 5,9 1011
d) 0,3483 3,5 x 10-1
e) 0,000987 9,87 x 10-4
Como se podrá observar en esta tabla, la notación científica se compone siempre de un solo número entero y el resto pueden ser o varios decimales, según la mayor o menor exactitud que requiera una representación numérica determinada. La cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos números solamente por medio de la aproximación o redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear la notación científica es, precisamente, acortar las cifras largas, ya sean de números enteros o decimales. 

Para convertir en notación científica el número 529 745 386 (“a” en la tabla anterior), será necesario contar de derecha a izquierda los espacios que existen entre el último número de la serie numérica a partir del “6” hasta llegar al primero (“5” en este caso). Después de contar veremos que hay ocho espacios, por lo que la notación científica de ese número entero la podemos escribir así: 5,29 x 108. (El superíndice 8  representa los espacios que hemos contado desde el “6” hasta el “5”).

Si queremos redondear esa cifra para que la notación sea aún más simplificada, podemos escribirla también como 5,3 x 108 . Igualmente se pueden representar más cifras decimales empleando los propios números que forman el número entero como, por ejemplo, 5,2975 x 108 .

Para convertir de nuevo la cifra representada en notación científica en el número entero que le dio origen, realizamos la operación inversa. Por ejemplo, si el número entero 529 745 386 se redondeó originalmente para que su representación decimal en notación científica fuera 5,3 x 108 y queremos restaurar ahora el número original, en este caso será necesario multiplicar  5,3 x 100 000 000 (los ocho ceros se corresponden con el superíndice 108 ). El resultado de la operación será 530 000 000 en lugar de 529 745 386, que como se podrá comprobar difiere algo del número entero original debido a la aproximación o redondeo que se realizó anteriormente.

El procedimiento para convertir un número decimal en otro número en notación científica es parecido al anterior. Tomemos por ejemplo el número 0,000987, correspondiente a la “e” en la tabla del ejemplo. Para realizar la conversión, sencillamente corremos la coma hacia la derecha los cuatro espacios que la separan del “9”, con lo que obtendremos el siguiente número decimal: 9,87 . Por tanto, la notación final quedará de la siguiente forma: 9,87 x 10-4 Si queremos acortar más la notación podemos redondear y escribirla también como 9,9 x 10-4 . En el caso de la conversión de decimales a notación científica, el superíndice del “10” llevará el signo “menos” para indicar que esta notación corresponde a un número fraccionario en lugar de uno entero.Para convertir de nuevo la notación científica de este ejemplo en decimal, movemos la coma tantos lugares a la izquierda como número nos indique el superíndice negativo, agregando los correspondientes ceros para completar la cifra.

Fuente: http://www.asifunciona.com/ciencia/ke_notacion_cientifica/ke_notacion_cientifica_2.htm

Aquí os dejo ejercicios con sus soluciones para practicar:

EJERCICIOS NOTACION CIENTIFICA

SOLUCIONES EJERCICIOS NOTACION CIENTIFICA

Fallece Benoit Mandelbrot, un matemático que nos acercó al infinito

El matemático Benoit Mandelbrot, famoso por su trabajo sobre la medición de los fenómenos naturales irregulares como las nubes y las costas, murió en Estados Unidos a la edad de 85 años.

Mandelbrot, un visionario que tenía nacionalidad francesa y estadounidense, acuñó el término fractal para una nueva clase de forma matemática. Los fractales buscan representar esquemas elaborados fuera de los límites de la geometría convencional.

Su trabajo tuvo efectos a largo plazo en diferentes campos como la física, la biología, la astronomía e incluso la cultura pop, por su habilidad para producir imágenes brillantes y multicolores.

En los siguientes párrafos resumimos un poco su historia:

Benoît Mandelbrot (Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924 – Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de 2010)  fue un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal responsable del auge de este dominio de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, y del interés creciente del público. En efecto, supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época – el ordenador – para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia quien inventó las matémáticas de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot.

Principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.

El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.

Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.”
De Introduction to The Fractal Geometry of Nature

Una propiedad fundamental de los fractales es la autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.

En el siguiente video podemos observar cómo el llamado conjunto de Mandelbrot es autosemejante, por mucho que acerquemos el zoom para ver su interior:

Fuentes:

bbc.co.uk

wikipedia

Intervalos (3º ESO)

He estado buscando y la verdad es que no he conseguido encontrar demasiada información en cuanto a operaciones con intervalos. De todos modos os adjunto algunos documentos interesantes sobre el tema de intervalos, con los que podéis ampliar y completar información:

intervalos y radicales (en este enlace además de información sobre intervalos la tenéis sobre radicales, que será la última parte del tema)

DESIGUALDADES E INTERVALOS

Intervalos

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

NUMEROS REALES E INTERVALOS: OPERACIONES

Por último, un diagrama para recordar qué es la unión y qué es la intersección:

¿Y quién es Gauss?

CARL FRIEDRICH GAUSS
El príncipe de las matemáticas


(desde http://www.portalplanetasedna.com.ar/gauss.htm)

….cuando el famoso viajero y aficionado a las ciencias barón Alexander von Humboldt preguntó a Laplace quién era el más grande matemático de Alemania, Laplace replicó Plaff. “Y entonces Gauss, ¿qué?”, preguntó el asombrado von Humboldt. “Oh, – dijo Laplace-, Gauss es el mayor matemático del mundo.”

SU VIDA
Nacido en Brunswic, el 30 de abril de 1777, de familia humilde. Su padre se opuso siempre a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus posibilidades. Sin embargo, cuando su padre murió en 1806, Gauss ya había realizado una obra inmortal. En el lado opuesto, su madre Dorothea Benz y el hermano de ésta, Friedrich, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. El apoyo de su madre y tío pudieron con la intención de su padre de mantener a Gauss en la gnorancia. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó de ella los últimos 20 años de la vida de ésta despreocupándose de su fama y carrera.

Son muchas las anécdotas que muestran la precocidad intelectual del pequeño Gauss. Con tres años se permitió corregir los cálculos que realizaba su padre cuando éste laboraba la nómina de sus empleados.. Con anterioridad ya había aprendido a leer. Destacaba también su capacidad para el cálculo mental

A los siete años ingresó en su primera escuela, dirigida por un tal Büttner, personaje que no destacaba precisamente por sus dotes pedagógicos. De esta época se cuenta que a los 10 años , cuando fue admitido en la clase de aritmética, sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido en la resolución de un problema del tipo “Halla la suma de los 100 primeros números enteros”. Gauss agrupó los números en 50 parejas de números que sumaban 101 La sorpresa de Büttner fue tal, que de su propio bolsillo, regaló al joven el mejor texto asequible de Matemáticas


La casualidad hizo que el joven ayudante de su maestro, Johann Martín Bartel, fuera también un apasionado de las matemáticas. Ambos pasaron muchas horas juntos estudiando, ayudándose en las dificultades y ampliando demostraciones. En esta época se producen sus primeros trabajos sobre el teorema del binomio.

El propio Batels, por medio de algunos de sus influyentes amigos, consiguió presentar a Gauss al Duque de Brunswic, Carl Wilhelm Ferdinand en 1791. A partir de entonces el duque se encargó de pagar la educación de Gauss.

En Febrero de 1792 Gauss ingresó en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conociendo la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. Cuando dejó el colegio, en Octubre de 1795, aún no había decidido si se dedicaría a las matemáticas o a la filología.

En 1796, un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás , como se exigía en la Geometría desde Grecia. Algunos autores consideran este hecho fundamental para que Gauss se decidiera por las matemáticas y no por la filología.

A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática. Después de su regreso a Brunswic en 1799, el duque tuvo que ser convencido para seguir con su ayuda económica a Gauss. Como contrapartida debió presentar su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt. En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra..


Quizás la obra más importante publicada por Gauss sean las Disquisitiones Arithmeticae de 1801. A partir de aquí las matemáticas puras dejan de ser el único objetivo para Gauss y comienza a interesarse por la astronomía, dedicándole la mayor parte de su tiempo durante 20 años. y no faltándole los detractores que le ridiculizaron por “malgastar”su tiempo en el cálculo de órbitas de planetas menores.

En 1809 publicó sus segunda obra maestra, Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol en secciones cónicas.

El 9 de octubre de 1805, un aumento de su pensión le permitió casarse  con Johanna Ostoff.  De este feliz matrimonio (así lo consideraba Gauss en una carta dirigida a su amigo Wolfgang Bolyai), nacieron tres hijos: José , Minna y Luis, el primero de los cuales heredó la capacidad de su padre para los cálculos mentales. Sin embargo 4 años después, con el nacimiento de Luis, su esposa murió. Al año se volvió a casar con Minna Waldeck, amiga íntima de su primera mujer, con la que tuvo dos hijos y una hija.

Su benefactor, el duque Fernando, quedó mortalmente herido tras enfrentarse a las tropas napoleónicas al frente de las fuerzas prusianas. Después de regresar a Brunswick y tras ser humillado por el propio Napoleón, el duque debió huir, muriendo en la casa de su padre en Altona, el 10 de Noviembre de 1806. La pérdida de su patrón obligó a Gauss a buscar algún medio de vida. La solución no tardó en llegar y en 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen con la única obligación, si fuera necesario, de dar cursos de matemáticas a los estudiantes de la universidad. La enseñanza no fue una tarea que agradara a Gauss, solamente con buenos matemáticos se sentía cómodo impartiendo sus lecciones. En esta época debió soportar la presión de los invasores franceses y pagar una contribución involuntaria de 2000 francos a la caja de guerra de Napoleón (su orgullo no le permitió aceptar algunas donaciones para poder pagar esta multa).

A pesar de su capacidad en materias como estadística, seguros y aritmética política, Gauss no ocupó nunca un cargo político. Además de su dedicación a la Ciencia tenía sus hobbies en la lectura de la literatura europea y clásica, en su interés crítico por la política mundial, en su dominio de lenguas extranjeras y de nuevas ciencias como la botánica y la mineralogía.

Desde 1821 hasta 1848 Gauss trabajó en Geodesia. Entre 1830 y 1840 se dedicó a la física matemática, concretamente electromagnetismo, magnetismo terrestre la teoría de la atracción según la ley de Newton. Los últimos años de su vida, entre 1841 y 1855, los dedicó al “análisis situs” y a la geometría asociada a funciones de variable compleja.

Después de 20 años en los que a penas había salido de Göttingen, en junio de 1854 salió para visitar la construcción del ferrocarril entre su ciudad y Cassel. Los caballos se desbocaron y fue despedido fuera del carruaje, aunque no tuvo ningún daño, si sufrió un fuerte “shock”. Después de recuperarse llegó a presenciar la inauguración del ferrocarril a Göttingen.

A principios de 1855 comenzaron a aparecer los síntomas de su última enfermedad. Con dificultades, siguió trabajando hasta que murió pacíficamente el 23 de febrero de 1855.

SU OBRA
Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.

El polígono
Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.

Las Disquisiciones
En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra “Disquisitiones Arithmeticae”, obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría. Además de organizar lo ya existente sobre los números enteros, Gauss aportó ideas propias. Fundamentó su teoría a partir de una aritmética de números congruentes que utilizó en la demostración de importantes teoremas, quizás el mas famoso de todos y el favorito de Gauss sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. En esta obra se muestra claramente una tendencia en todo el trabajo de Gauss, en sus demostraciones se elimina toda traza que pueda hacer ver el proceso que las ha hecho posibles. Esto ha sido un elemento negativo para las generaciones siguientes que han tenido muchos problemas para comprender los métodos empleados por Gauss.

No se puede dejar sin señalar la aportación de Gauss a la teoría de números complejos. Después de que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los represento geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. En 1811 Gauss demostró el hoy llamado teorema de Cauchy (él no llegó nunca a publicarlo). También elaboró un método para descomponer los números primos en producto de números complejos.

Un nuevo planeta

El descubrimiento del “nuevo planeta”, llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al joven matemático. Era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss acepto este reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que el había predicho con sus detallados cálculos. Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían representarse mediante una curva acampanada (hoy conocida como campana de Gauss).

También utilizó el método de mínimos cuadrados. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar.

Gauss y la Geodesia
Hacia 1820 Gauss comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma teórica como e forma práctica. En 1821 se le encargo, por parte de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, el estudio geodésico de Hannover. A tal fin Gauss ideó el heliotropo, instrumento que refleja la luz del Sol en la dirección especificada, pudiendo alcanzar una distancia de 100 Km y haciendo posible la alineación de los instrumentos topográficos. Trabajando con los datos obtenidos en sus observaciones elaboró una teoría sobre superficies curvas, según la cual, las características de una superficie se pueden conocer midiendo la longitud de las curvas contenidas en ella. A partir de los problemas para determinar una porción de superficie terrestre surgieron problemas más profundos, relativos a todas las superficies alabeadas, terminándose por desarrollar el primer gran periodo de la geometría diferencial.

En el mundo del magnetismo
A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.

Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas.

Feliz 10/ 10 / 10

Una fecha bastante especial, la del día de hoy, 10 de octubre de 2010, es decir 10-10-10.

O sea, que podemos escribirla usando solamente ceros y unos. ¿Y qué hay de especial en eso? Pues que el cero y el uno son las únicas dos cifras que se usan para representar el sistema de numeración binario, que es el lenguaje básico que usan los ordenadores.

En estos videos que os presento a continuación se nos explica el funcionamiento de este sistema de numeración tan especial.

El primero está en inglés, pero creo que se puede entender perfectamente. Y el segundo es una magnífica exposición por parte de un excelente matemático, Adrián Paenza, desde Argentina.

Un saludo.